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          已知a＞0，b＞0，a+b=1．求證：
          （1）
          1
          a
          +
          1
          b
          +
          1
          ab
          ≥8          ；              
          （2）
          		a+
          1
          2
          +
          		b+
          1
          2
          ≤2          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）因?yàn)?=a+b≥2
          		ab
          ，所以ab≤
          1
          4
          ，從而可得結(jié)論；
          （2）先證明
          		(a+
          1
          2
          )(b+
          1
          2
          )
          ≤1，再證明（
          		a+
          1
          2
          +
          		b+
          1
          2
          ）2≤4，即可得到結(jié)論．
          解答：證明：（1）因?yàn)?=a+b≥2
          		ab
          ，所以ab≤
          1
          4
          ，所以
          1
          a
          +
          1
          b
          +
          1
          ab
          =
          2
          ab
          ≥8
          所以
          1
          a
          +
          1
          b
          +
          1
          ab
          ≥8          ；
          （2）因?yàn)?=a+b≥2
          		ab
          ，所以ab≤
          1
          4
          ，所以
          1
          2
          （a+b）+ab+
          1
          4
          ≤1，
          所以
          		(a+
          1
          2
          )(b+
          1
          2
          )
          ≤1，從而有2+2
          		(a+
          1
          2
          )(b+
          1
          2
          )
          ≤4，
          即：（a+
          1
          2
          ）+（b+
          1
          2
          ）+2
          		(a+
          1
          2
          )(b+
          1
          2
          )
          ≤4，即：（
          		a+
          1
          2
          +
          		b+
          1
          2
          ）2≤4，所以原不等式成立．
          點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
          4
          a
          ，β=b+
          4
          b
          ，則α+β的最小值為（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          （1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，判斷曲線C：
          x=2cosθ
          y=sinθ
          （θ為參數(shù)）與直線l：
          x=1+2t
          y=1-t
          （t為參數(shù)）是否有公共點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．
          （2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
          1
          2a+1
          +
          4
          2b+1
          ≥
          9
          4
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          （2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，D（1，0）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，
          d
          =(1，
          		2
          )          是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量．
          （1）求雙曲線C的方程；
          （2）若過(guò)點(diǎn)（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn) （A，B都不同于點(diǎn)D），求證：
          DA
          •
          DB
          為定值；
          （3）對(duì)于雙曲線Γ：
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a＞0，b＞0，a≠b)          ，E為它的右頂點(diǎn)，M，N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)（都不同于點(diǎn)E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè)，寫(xiě)出類(lèi)似結(jié)論（不要求書(shū)寫(xiě)求解或證明過(guò)程）．
          情形一：雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a＞0，b＞0，a≠b)          及它的左頂點(diǎn)；
          情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點(diǎn)；
          情形三：橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          及它的頂點(diǎn)．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          已知a＞0，b＞0，a+b=1，則a+
          1
          a
          +b+
          1
          b
          的最小值為
          5
          5
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：松江區(qū)二模
				題型：解答題
			
          

						
          已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，D（1，0）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，
          d
          =(1，
          		2
          )          是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量．
          （1）求雙曲線C的方程；
          （2）若過(guò)點(diǎn)（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn) （A，B都不同于點(diǎn)D），求證：
          DA
          •
          DB
          為定值；
          （3）對(duì)于雙曲線Γ：
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a＞0，b＞0，a≠b)          ，E為它的右頂點(diǎn)，M，N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)（都不同于點(diǎn)E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè)，寫(xiě)出類(lèi)似結(jié)論（不要求書(shū)寫(xiě)求解或證明過(guò)程）．
          情形一：雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a＞0，b＞0，a≠b)          及它的左頂點(diǎn)；
          情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點(diǎn)；
          情形三：橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          及它的頂點(diǎn)．
          

			
          

			
          
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