Question

已知直線l：kx-y+1+2k=0．
（1）證明l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；
（2）若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程；
（3）若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k（x+2），顯然過(guò)定點(diǎn)（-2，1）．
（2）先求出A和B 的坐標(biāo)，代入三角形的面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用基本不等式求出三角形面積的最小值，以及面積最小時(shí)直線的斜率，從而得到直線l的方程．
（3）由直線過(guò)定點(diǎn)（-2，1），可得，當(dāng)斜率 k≥0時(shí)，直線不經(jīng)過(guò)第四象限．

解答：解：（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k（x+2），
所以，直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，1）．
（2）由題意得A（

2k+1

-k

，0），B（0，2k+1），且

2k+1 -k ＜0 1+2k＞0

，故 k＞0，
△AOB的面積為S=

1

2

×

2k+1

k

×（2k+1）=

4k2+4k+1

2k

=2k+2+

1

2k

≥4，
當(dāng)且僅當(dāng) k=

1

2

時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積取最小值4，k=

1

2

，直線的方程是：x-2y+4=0．
（3）由直線過(guò)定點(diǎn)（-2，1），且直線不經(jīng)過(guò)第四象限，
可得斜率 k＞0 或k=0，
故k的取值范圍為[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，求直線方程的方法，屬于中檔題．