Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，D為BC中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求證：C₁A⊥B₁C．
（Ⅲ）若AC=2，求點C到平面C₁AD的距離．

Answer 1

分析：（I）欲證A₁B∥平面ADC₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A₁B與平面ADC₁內(nèi)一直線平行，連接A₁C交C₁A與點O，連接DO，根據(jù)中位線定理可知DO∥A₁B，而A₁B?平面ADC₁，BO?平面ADC₁，滿足定理所需條件；
（II）由（I）可知C₁A⊥A₁C，A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，根據(jù)線面垂直的判定定理可知C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C，根據(jù)線面垂直的性質可知C₁A⊥B₁C；
（III）根據(jù)題意可知CC₁⊥面ABC，求出S_△ACD與S_△AC1D，設點C到平面C₁AD的距離為d，最后根據(jù)等體積法V_C-C1AD=V_C1-CAD建立等式關系，求出d即可求出所求．

解答：證明：（I）連接A₁C交C₁A與點O，連接DO
∵ACC₁A₁均為正方形∴點O為A₁C的中點
而D為BC中點∴DO∥A₁B
而A₁B?平面ADC₁，DO?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（II）由（I）可知C₁A⊥A₁C，而AB⊥平面ACC₁A₁，
而C₁A?平面ACC₁A₁，則AB⊥C₁A，而A₁B₁∥AB
∴A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，
∴C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C
∴C₁A⊥B₁C．
（III）根據(jù)題意可知CC₁⊥面ABC，
S_△ACD=1，AC₁=2

2

，AD=

2

，C₁D=

6

∴S_△AC1D=

1

2

×

2

×

6

=

3

設點C到平面C₁AD的距離為d
V_C-C1AD=V_C1-CAD=

1

3

×1×2=

1

3

×

3

×d
解得：d=

2 3

3

∴點C到平面C₁AD的距離為

2 3

3

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的性質和點到平面的距離，同時考查了空間想象能力、運算求解的能力、以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．