Question

已知a，b為不相等實數(shù)，設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），命題：“?x₁，x₂∈（a，b），λ＞0，且x₁＜x₂，都有f(

x1+λx2

1+λ

)＞

f(x1)+λf(x2)

1+λ

”為真，那么下列4個結(jié)論中正確的個數(shù)是（　�。�
①f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)必有極大值；
②f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)增；
③必定存在唯一的x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(a)-f(b)

a-b

；
④導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)題意判定函數(shù)是凸函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象后，利用數(shù)形結(jié)合逐一判定四個結(jié)論的真假，即可得到答案．

解答：解：∵?x₁，x₂∈（a，b），λ＞0，
∴P₁（x₁y₁），P₂（x₂，y₂） 的定比分點P（

x1+λx2

1+λ

，

f(x1)+λf(x2)

1+λ

）
∵f（

x1+λx2

1+λ

）＞

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，
∴函數(shù)為凸函數(shù)，故③正確；

故f′（x）在區(qū)間（a，b）上遞減，故④正確；
但f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的單調(diào)性無法判斷，
故①②錯誤
故選：B

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的凸凹性和單調(diào)性，其中分析出函數(shù)的凸凹性是解答的關(guān)鍵．