Question

等比數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，且滿足：a₁+a₆=33，a₃a₄=32．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1且n≥2時(shí)，a2，abn，a2n-2成等比數(shù)列，T_n為{b_n}前n項(xiàng)和，cn=

Tn+1

Tn

+

Tn

Tn+1

，證明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用a₁+a₆=33，a₃a₄=32，可求首項(xiàng)與公比，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由于a2，abn，a2n-2成等比數(shù)列故可化簡(jiǎn)得b_n=n，從而有Tn=

n(n+1)

2

，所以cn=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，故可得證．

解答：解：（1）由題意，數(shù)列{a_n}單增，所以，

a1+a6=33 a1a6=a3a4=32

?

a1=1 a6=32

∴q=2，∴a_n=2^n-1；
（2）由題，abn2=a2a2n-2?(2bn-1)2=2•22n-3?2(bn-1)=2n-2?bn=n
∴Tn=

n(n+1)

2

∴cn=

n+2

n

+

n

n+2

=1+

2

n

+1-

2

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)
當(dāng)n≥2時(shí)，c1+c2++cn=2n+2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)0＜1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3
當(dāng)n=1時(shí)，2＜c1=3+

1

3

＜5
所以對(duì)任意的n∈N^*，2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和，綜合性強(qiáng)