Question

【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ．直角梯形可以通過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面平面．

[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2017/12/20/1842736631291904/1845869604462592/STEM/592e486e595e40bf846fae2bfa16ac59.png]

（I）求證： ．

（II）求直線和平面所成角的正弦值．

（III）設(shè)為的中點(diǎn)， ， 分別為線段， 上的點(diǎn)（都不與點(diǎn)重合）．若直線平面，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）；（III）.

【解析】試題分析：（I）由面面垂直定理得面，由線面垂直定理即可得出.

（II）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，令， ，即可求出直線和平面所成角的正弦值．

（III）設(shè)，由，表示， ，

由，，求得，，即可求出MH的長(zhǎng).

試題解析：（I）∵，

∴，

∵平面平面且平面平面，

∴面，

∵平面，

∴．

（II）由（I）知， 平面，

∴， ，

∵，

， ， 兩兩垂直，

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

∵，

，

，

，

，

，

．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

∴，

∴，

令， ，

設(shè)直線與平面所成角為，

∵，

，

．

（III）在以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系中，

， ，

， ，

．

設(shè)，

，

∵，

∴，

，

，

若平面，

則，即，

，解得，

∴，

．

點(diǎn)睛:高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.