Question

設關于x的函數f（x）=mx²﹣（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m為R上的常數，若函數f（x）在x=1處取得極大值0．
（1）求實數m的值；
（2）若函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點，求實數k的取值范圍；
（3）設函數 ，若對任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x﹣2x²恒成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

解：（1） = 
因為函數f（x）在x=1處取得極大值0
所以， 解m=﹣1
（2）由（1）知 ，
令f'（x）=0得x=1或 （舍去）
所以函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減，
所以，當x=1時，函數f（x）取得最大值，f（1）=ln1﹣1+1=0
當x≠1時，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
所以，當k＜0時，函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點，
（3）設  

當p=0時， ，F（x）在[1，2]遞增，F（1）=﹣2＜0不成立，（舍）
當p≠0時  當 ，即﹣1＜p＜0時，
F（x）在[1，2]遞增，F（1）=﹣2p﹣2＜0，不成立
當 ，即p＜﹣1時，F（x）在[1，2]遞增，
所以F（1）=﹣2p﹣2≥0，解得p≤﹣1，
所以，此時p＜﹣1 當p=﹣1時，F（x）在[1，2]遞增，成立；
當p＞0時，F（1）=﹣2p﹣2＜0不成立，
綜上，p≤﹣1