Question

國際標(biāo)準(zhǔn)游泳池長50m，寬至少21m，深1.80m以上，設(shè)8條泳道，每條泳道寬2.50m，分道線由直徑5～10cm的單個(gè)浮標(biāo)連接而成．某位游泳教練員指導(dǎo)甲、乙兩名游泳運(yùn)動(dòng)員在這樣國際標(biāo)準(zhǔn)的游泳池內(nèi)同時(shí)進(jìn)行游泳訓(xùn)練，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員可以隨機(jī)的選擇
不同的泳道進(jìn)行訓(xùn)練．
（Ⅰ）求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇的泳道相隔數(shù)的分布列和期望；
（Ⅱ）若教練員為避免甲、乙兩人訓(xùn)練的相互干擾，要求兩人相隔的泳道數(shù)不少于2，為了同時(shí)計(jì)時(shí)的方便，又要求兩人相隔的泳道數(shù)不能超過4，求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)的選擇不同的泳道訓(xùn)練恰好符合教練員的要求的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇的泳道相隔數(shù)為隨機(jī)變量X，X的取值可能為：0、1、2、3、4、5、6；求出對應(yīng)的率，得出X的分布列，計(jì)算出X的期望；
（Ⅱ）兩人相隔泳道數(shù)不少于2，且不超過4的概率是P（2）+P（3）+P（4）的值．

解答：解：（Ⅰ）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇的泳道相隔數(shù)為隨機(jī)變量X，X可能為0，1，2，3，4，5，6
P（X=0）=

7× A 2 2

A 2 8

=

7

28

；
P（X=1）=

6 × A 2 2

A 2 8

=

6

28

；
P（X=2）=

5× A 2 2

A 8 2

=

5

28

；
P（X=3）=

4× A 2 2

A 8 2

=

4

28

；
P（X=4）=

3× A 2 2

A 8 2

=

3

28

；
P（X=5）=

2× A 2 2

A 8 2

=

2

28

；
P（X=6）=

A 2 2

A 8 2

=

1

28

；
它的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5	6
P	7 28	6 28	5 28	4 28	3 28	2 28	1 28

則泳道相隔數(shù)X的期望為：
E（X）=0×

7

28

+1×

6

28

+2×

5

28

+3×

4

28

+4×

3

28

+5×

2

28

+6×

1

28

=2
（Ⅱ）兩人相隔泳道數(shù)不少于2，且不超過4的概率為：
P（2≤X≤4）=

5

28

+

4

28

+

3

28

=

12

28

=

3

7

．

點(diǎn)評：本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算，以及互斥事件的概率加法公式，是基礎(chǔ)題目．