Question

若 P為橢圓上任意一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，

(1)若的中點(diǎn)為M，求證：；

(2)若，求之值；

(3)橢圓上是否存在點(diǎn)P，使，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：在△F₁PF₂中，MO為中位線，

∴|MO|＝＝

＝a－＝5－|PF₁|…….3分

(2)解：∵ |PF₁|＋|PF₂|＝10，

∴|PF₁|²＋|PF₂|²＝100－2|PF₁|·|PF₂|，

在△PF₁F₂中，cos 60°＝，

∴|PF₁|·|PF₂|＝100－2|PF₁|·|PF₂|－36，

∴|PF₁|·|PF₂|＝.  ………8分

(3)解：設(shè)點(diǎn)P(x₀，y₀)，則 .①

易知F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），故＝(－3－x₀，－y₀)，

＝(3－x₀，－y₀)，

∵ =0，∴x²－9＋y²＝0，②

由①②組成方程組，此方程組無(wú)解，故這樣的點(diǎn)P不存在． ……12分

【解析】略