Question

（2008•寶坻區(qū)一模）有6根木棒，已知其中有兩根的長度為

3

cm和

2

cm，其余四根的長度均為1cm，用這6根木棒圍成一個三棱錐，則這樣的三棱錐體積為

2

12

cm³．

Answer 1

分析：取BD的中點E，CD的中點F．連結(jié)EF，過A作AO⊥EF于點O，由勾股定理，中位線定理，等腰三角形三線合一，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，可得OA⊥面BCD，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：解：長度為

3

cm和

2

cm一定相交，如圖所示：
不妨設(shè)AC=

3

，CD=

2

，AB=AD=BD=BC=1，
取BD的中點E，CD的中點F．連結(jié)EF，
∵AB=AD
∴AE⊥BD
由勾股定理可得BC⊥BD，
又∵EF∥BC
∴EF⊥BD，
∵AE，EF?平面AEF，AE∩EF=E
∴BD⊥平面AEF
∵BD?平面BCD
∴平面BCD⊥平面AEF
過A作AO⊥EF于點O，
∵平面BCD∩平面AEF=EF，AO?平面AEF
∴OA⊥面BCD．
在△AEF中，AE=

3

2

，AF=

6

2

，得OA=

2

2

，
∴V_A-BCD=

1

3

×

1

2

×1×1×

2

2

=

2

12

．
故答案為：

2

12

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，本題較難，其中證明出OA⊥面BCD是解答的關(guān)鍵．