Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+bx+2（a，b∈R）在區(qū)間（-∞，0）及（4，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意知函數(shù)f（x）=ax³-x²+bx+2（a，b∈R）在區(qū)間（-∞，0）及（4，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)．所以0和4為函數(shù)的駐點(diǎn)，即f′（0）=0，f′（4）=0得到a與b；
（Ⅱ）求出f′（x）在x=1時(shí)的函數(shù)值f′（1）而f（1）=

7

6

得到切點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出切線方程化簡(jiǎn)即可．

解答：解：（I）∵f'（x）=3ax²-2x+b，
又f（x）在區(qū)間（-∞，0）及（4，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，
∴f'（0）=0，b=0．
又f′(4)=0，a=

1

6

.
（II）∵f(x)=

1

6

x3-x2+2，得f′(x)=

1

2

x2-2x.
當(dāng)x=1時(shí)，f′(1)=-

3

2

.
此時(shí)y=f(1)=

7

6

.
即切線的斜率為-

3

2

，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

7

6

）．
所求切線方程為9x+6y-16=0．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性能力，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程的能力．