Question

將一張邊長(zhǎng)為12cm的紙片按如圖1所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折成一個(gè)有底的正四棱錐模型，如圖2放置．若正四棱錐的正視圖是正三角形（如圖3），則四棱錐的體積是

64 6

3

cm³．

Answer 1

分析：根據(jù)正視圖形狀，得正四棱錐底面邊長(zhǎng)為a，則它的高h(yuǎn)=

3

2

a，斜高h(yuǎn)'=a．從而得到圖1中正方形的中心O到一個(gè)頂點(diǎn)的距離為a+

1

2

a=

3

2

a，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可解得a=4

2

，最后用錐體體積公式可算出該四棱錐的體積．

解答：解：∵正四棱錐的正視圖是正三角形
∴正四棱錐底面邊長(zhǎng)為a，則它的高h(yuǎn)=

3

2

a，斜高h(yuǎn)'=a
在圖1中，△ABC是等腰三角形，△OAC是高為a的等腰三角形
∴正方形的中心O到一個(gè)頂點(diǎn)的距離為

2

2

×12=a+

1

2

a=

3

2

a，可得a=4

2

由此可得，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4

2

，高h(yuǎn)=

3

2

×4

2

=2

6

∴四棱錐的體積是V=

1

3

×（4

2

）²×2

6

=

64

3

6

故答案為：

64

3

6

點(diǎn)評(píng)：本題將一個(gè)正方形沿虛線裁剪，再拼成一個(gè)正四棱錐，求它的體積，著重考查了側(cè)面展開圖、四棱錐的性質(zhì)和錐體體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．