Question

設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x滿足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

（1）若a=

5

2

，若p∧q假，p∨q真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=

5

2

時，可得p：

5

2

＜x＜

15

2

，由

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

可求q：2＜x≤3，結(jié)合已知可知p．q一真一假，可求
（2）?p是?q的充分不必要條件，可知?p⇒?q且?q推不出?p．結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求解

解答：解：（1）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0．
又a＞0，所以a＜x＜3a，
當(dāng)a=

5

2

時，

5

2

＜x＜

15

2

即p為真命題時，實數(shù)x的取值范圍是

5

2

＜x＜

15

2

由

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

可得

-2≤x≤3 x＜-4或x＞2

即2＜x≤3．所以q為真時實數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3．所以實數(shù)x的取值范圍是(2，

5

2

)∪(3，

15

2

)
（2）?p是?q的充分不必要條件，
即?p⇒?q且?q推不出?p．
設(shè)A={x|x≤a或x≥3a}，B={x|x≤2或x＞3}，
則A?B．所以1＜a≤2．所以實數(shù)a的取值范圍是（1，2]．

點評：本題主要考查了復(fù)合命題的真假關(guān)系的應(yīng)用及充分必要條件與集合之間包含關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本知識