Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,N為圓A:(x+1)²+y²=16上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)M是BN中點(diǎn),點(diǎn)P在線段AN上,且·=0.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)試判斷以PB為直徑的圓與圓x²+y²=4的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

Answer 1

解:(1)由點(diǎn)M是BN中點(diǎn),又·=0,

可知PM垂直平分BN,所以|PN|=|PB|.

又|PA|+|PN|=|AN|,所以|PA|+|PB|=4.

由橢圓定義知,點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓.

設(shè)橢圓方程為+=1,

由2a=4,2c=2,可得a²=4,b²=3.

可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡方程為=1.

(2)設(shè)點(diǎn)P(x₀,y₀),PB的中點(diǎn)為Q,則Q(,),

|PB|====2x₀,

即以PB為直徑的圓的圓心為Q(,),半徑為r₁=1-x₀.

又圓x²+y²=4的圓心為O(0,0),半徑r₂=2,又|OQ|=

===1+x₀,

故|OQ|=r₂-r₁,即兩圓相切.