Question

【題目】設(shè)a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù)，且blna﹣alnb=a﹣b，給出下列結(jié)論：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2；③ + ＞2．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由blna﹣alnb=a﹣b，得blna+b=alnb+a，即 = ，

設(shè)f（x）= ，x＞0，

則f′（x）=﹣ =，

由f′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，

由f′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，

即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，

則 = ，等價(jià)為f（a）=f（b），

則a，b一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，

不妨設(shè)0＜a＜1，b＞1．

則a+b﹣ab＞1等價(jià)為（a﹣1）（1﹣b）＞0，

∵0＜a＜1，b＞1．∴（a﹣1）（1﹣b）＞0，則a+b﹣ab＞1成立，故①正確，

②由即 = ，

得 = ，

由對(duì)數(shù)平均不等式得 = ＞ ，

即lna+lnb＞0，即lnab＞0，

則ab＞1，

由均值不等式得a+b＞2，故②正確，

③令g（x）=﹣xlnx+x，則g′（x）=﹣lnx，

則由g′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，此時(shí)g（x）為增函數(shù)，

由g′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，此時(shí)g（x）為減函數(shù)，

再令h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），0＜x＜1，

則h′（x）=g′（x）+g′（2﹣x）=﹣lnx﹣lm（2﹣x）=﹣ln[x（2﹣x）]＞0，

則h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），在0＜x＜1上為增函數(shù)，

則h（x）=g（x）﹣g（2﹣x）＜h（1）=0，

則g（x）＜g（2﹣x），

即g（ ）＜g（2﹣ ），

∵g（ ）= ﹣ ln = + lna= = ，

∴g（ ）=g（ ）

則g（ ）=g（ ）＜g（2﹣ ），

∵g（x）在0＜x＜1上為增函數(shù)，

∴ ＞2﹣ ，

即 + ＞2．

故③正確，

故選：D