Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，其中a、b∈R且f(

1

2

)=

2

5

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；
（3）解關于t的不等式f（t-1）+f（t²）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數(shù)，且 f（

1

2

）=

2

5

，可得 f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=-

2

5

，從而得到關于a、b的方程組，解之即可；
（2）直接利用單調(diào)性的定義即可證明；
（3）利用f（x）為奇函數(shù)，將不等式f（t-1）+f（t）＜0轉(zhuǎn)化為f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)得到關于t的不等式 組，解之即可．

解答：解：：（1）∵f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數(shù)，且 f（

1

2

）=

a• 1 2 +b

1+( 1 2 )2

=

2

5

，
∴f（-

1

2

）=

a•(- 1 2 )+b

1+(- 1 2 )2

=-f（

1

2

）=-

2

5

，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=

x

1+x2

．
（2）證明：在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x1 2

-

x2

1+x2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x1 2)(1+x2 2)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）∵f（t-1）+f（t²）＜0
∴f（t²）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)
∴

t2＜1-t -1＜t2＜1 -1＜1-t＜1

∴0＜t＜

5 -1

2

故關于t的不等式的解集為 （0，

5 -1

2

）．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)應用，著重考查學生理解函數(shù)奇偶性與用定義證明單調(diào)性及解方程，解不等式組的能力，屬于中檔題．