Question

已知A、B、C、D為圓O上的四點(diǎn)，直線DE為圓O的切線，AC∥DE，AC與BD相交于H點(diǎn)
（Ⅰ）求證：BD平分∠ABC
（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明BD平分∠ABC可通過(guò)證明D是

AC

的中點(diǎn)，利用相等的弧所對(duì)的圓周角相等證明BD是角平分線；
（Ⅱ）由圖形知，可先證△ABH∽△DBC，得到

AH

CD

=

AB

BD

，再由等弧所對(duì)的弦相等，得到AD=DC，從而得到

AH

AD

=

AB

BD

，求出AH的長(zhǎng)

解答：解：（Ⅰ）∵AC∥DE，直線DE為圓O的切線，∴D是弧

AC

的中點(diǎn)，即

AD

=

DC

又∠ABD，∠DBC與分別是兩弧

AD

，

DC

所對(duì)的圓周角，故有∠ABD=∠DBC，
所以BD平分∠ABC
（Ⅱ）∵由圖∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC
∴△ABH∽△DBC，∴

AH

CD

=

AB

BD

又

AD

=

DC

∴AD=DC，
∴

AH

AD

=

AB

BD

∵AB=4，AD=6，BD=8
∴AH=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，解題的關(guān)鍵是對(duì)與圓有關(guān)性質(zhì)掌握得比較熟練，能根據(jù)這些性質(zhì)得出角的相等，邊的相等，從而使問(wèn)題得到證明