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        1.  如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,D、E分別為BB1AC1的中點(diǎn).

          (Ⅰ)證明:ED為異面直線BB1AC1的公垂線;         

          (Ⅱ)設(shè)AA1ACAB,求二面角A1ADC1的大小。

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          【答案】

           解法一:(Ⅰ)設(shè)OAC中點(diǎn),連接EO,BO,則EO∥=C1C,又C1C∥=B1B,所以EO∥=DB,EOBD為平行四邊形,EDOB.     ……2分

          ABBC,∴BOAC,

          又平面ABC⊥平面ACC1A1BOÌ面ABC,故BO⊥平面ACC1A1,

          ED⊥平面ACC1A1BDAC1,EDCC1

          EDBB1,ED為異面直線AC1BB1的公垂線.……6分

          (Ⅱ)連接A1E,由AA1ACAB可知,A1ACC1為正方形,

          A1EAC1,又由ED⊥平面ACC1A1EDÌ平面ADC1知平面

          ADC1⊥平面A1ACC1,∴A1E⊥平面ADC1.作EFAD,垂足為F,連接A1F,則A1FAD,∠A1FE為二面角A1ADC1的平面角.

          不妨設(shè)AA1=2,則AC=2,ABEDOB=1,EF==,

          tan∠A1FE=,∴∠A1FE=60°.

          所以二面角A1ADC1為60°.          ………12分

          解法二:

          (Ⅰ)如圖,建立直角坐標(biāo)系Oxyz,其中原點(diǎn)OAC的中點(diǎn).

          設(shè)A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c).

          C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c).   ……3分

          =(0,b,0),=(0,0,2c).

          ·=0,∴EDBB1

          又=(-2a,0,2c),

          ·=0,∴EDAC1,    ……6分

          所以ED是異面直線BB1AC1的公垂線.

          (Ⅱ)不妨設(shè)A(1,0,0),則B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),

          =(-1,-1,0),=(-1,1,0),=(0,0,2),

          ·=0,·=0,即BCAB,BCAA1,又ABAA1A,

          BC⊥平面A1AD.

          又  E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1),

          =(-1,0,-1),=(-1,0,1),=(0,1,0),

          ·=0,·=0,即ECAEECED,又AEEDE

          ∴  EC⊥面C1AD.  ……10分

          cos<,>==,即得和的夾角為60°.

          所以二面角A1ADC1為60°.   

           

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          (I)求證:CD=C1D:

          (II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

          (Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.

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          P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.

          (I)求證:CD=C1D:

          (II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

          (Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.

           

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          P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.

          (I)求證:CD=C1D:

          (II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

          (Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.

           

           

           

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          (I)求證:CD=C1D;
          (II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
          (Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離

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          (I)求證:CD=C1D:

          (II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

          (Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.

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