Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，x∈R）的導函數(shù)f′（x）的圖象上的一個最高點和與它相鄰的一個最低點的坐標分別為M（-

π

3

，3），N（

π

3

，-3）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

2π

9

個單位得到函數(shù)g（x）圖象，直線x=t（t∈[0，

π

2

]）與f（x），g（x）的圖象分別交于P，Q兩點，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，f^′（x）=A?cos（?x+φ），由相鄰的兩個頂點的坐標可求A、?，再由五點法作圖可求φ．
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的解析式求得函數(shù)g（x）的解析式，化簡∴|PQ|=|f（t）-g（t）|的解析式，
得到|PQ|=2|cos（

3

2

t+

π

3

）|，由 0≤t≤

π

2

，求|PQ|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，f^′（x）=A?cos（?x+φ），函數(shù)f^′（x）的周期 T=

4π

3

，∴?=

3

2

．又A?=3，∴A=2．
∵M(-

π

3

，3)是最高點坐標，∴

3

2

× (-

π

3

 )+φ=0，∴φ=

π

2

．∴f(x)=2sin(

3

2

x+

π

2

)=2cos

3

2

x．（5分）

（Ⅱ）g(x)= 2cos

3

2

(x-

2

9

π)=cos(

3

2

x-

π

3

)．（7分）
∴|PQ|=|f（t）-g（t）|=2|cos

3

2

t-cos(

3

2

t-

π

3

)|=2| cos(

3

2

t+

π

3

)|．
∵t∈[0，

π

2

]，∴

3

2

t+

π

3

∈[

π

3

，

13π

12

]∴|PQ|∈[1，2]．
∴|PQ|的最大值為2．．（12分）

點評：本題考查求函數(shù)的導數(shù)的方法，求函數(shù)解析式的方法，應(yīng)用三角公式化簡三角函數(shù)式以及求三角函數(shù)的值域．