Question

（理）若二次項系數(shù)為a的二次函數(shù)f（x）同時滿足如下三個條件，求f（x）的解析式．
①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對任意實數(shù)x，都有f（x）恒成立．

Answer 1

【答案】分析：方法一：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），由已知①②可得，然后由f（x）可得恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求a，進(jìn)而可求函數(shù)解析式
方法二：設(shè)，由f（1）=0，可得，而f（x）=a≥-恒成立，則-≥，且a＞0，可求a，從而可求
解答：解：方法一：利用一般解析式．設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），
依題意得：⇒
由f（x）得恒成立，
∴即
∴a=1，
∴f（x）=x²-3x+2
方法二：依題意可設(shè)，由，，
從而f（x）=a≥-恒成立，則-≥，且a＞0，
∴≤0，a＞0，∴a=1．
從而f（x）==x²-3x+2
點評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是由二次函數(shù)的性質(zhì)求解f（x）恒成立問題．