Question

如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都為a，P為上的點(diǎn)。
（1）試確定的值，使得PC⊥AB；
（2）若，求二面角P—AC—B的大小；
（3）在（2）的條件下，求到平面PAC的距離。

Answer 1

解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A點(diǎn)與AB垂直的直線(xiàn)為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，如圖所示，則B（a，0，0），A₁（0，0，a），C（，，0），設(shè)P（x，0，z）

（1）由，得
即，∴P為A₁B的中點(diǎn)
即時(shí)，PC⊥AB .                             ……………………3分
（2）當(dāng)時(shí)，由，得（x，0，z－a）
即
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量
則，即
即
取，則
∴
又平面ABC的一個(gè)法向量為
∴
∴二面角P—AC—B的大小為180°－120°=60°………………7分
（3）設(shè)C₁到平面PAC的距離為d
則
即C₁到平面PAC的距離為.               ……………………10分

略