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        1. 動點M(x,y)到定點F(-1,0)的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1.
          (I)求動點M的軌跡C的方程;
          (II)過點Q(-3,0)的直線l與曲線C交于A、B兩點,問直線x=3上是否存在點P,使得△PAB是等邊三角形?若存在,求出所有的點P;若不存在,請說明理由.
          【答案】分析:(I)利用動點M(x,y)到定點F(-1,0)的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1,建立方程,化簡方程可得M點的軌跡方程;
          (II)設(shè)l的方程為x=my-3,代入y2=-4x,消元可得y2+4my-12=0,利用韋達定理,可得|AB|,結(jié)合△PAB是等邊三角形得:PM⊥AB且,由此可得結(jié)論.
          解答:解:(I)依題意有:…(2分)
          當x≥0時,y=0;當x<0時,y2=-4x…(5分)
          ∴M點的軌跡方程為…(6分)
          (II)由題意,l只能與拋物線y2=-4x相交.
          設(shè)l的方程為x=my-3,代入y2=-4x,消元可得y2+4my-12=0…(7分)
          設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)則
          …(8分)
          AB的中點M(-2m2-3,-2m)
          由△PAB是等邊三角形得:PM⊥AB且…(9分)
          令點P(3,n)則…(10分)
          ,解得
          所以存在點P(3,0)使得△PAB是等邊三角形.…(13分)
          點評:本題考查軌跡方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達定理的運用,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定點F(
          p
          2
          ,0),(p>0)定直線l:x=
          p
          2
          ,動點M(x,y)到定點的距離等于到定直線l的距離.
          (Ⅰ)求動點M的軌跡方程;
          (Ⅱ)動點M的軌跡上的點到直線3x+4y+12=0的距離的最小值為1,求p的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知動點M(x,y)到定點F(0,1)的距離等于它到定直線l:y+1=0的距離
          (1)求點M的軌跡方程
          (2)經(jīng)過點F,傾斜角為30°的直線m交M的軌跡于A、B兩點,求|AB|
          (3)設(shè)過點G(0,4)的直線n交M的軌跡于C(x1,y1),D(x2,y2),O為坐標原點.證明:OC⊥OD.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          已知動點M(x,y)到定點F(0,1)的距離等于它到定直線l:y+1=0的距離
          (1)求點M的軌跡方程
          (2)經(jīng)過點F,傾斜角為30°的直線m交M的軌跡于A、B兩點,求|AB|
          (3)設(shè)過點G(0,4)的直線n交M的軌跡于C(x1,y1),D(x2,y2),O為坐標原點.證明:OC⊥OD.

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          科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年河北省保定市高二(上)期末數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知定點F(,0),(p>0)定直線l:x=,動點M(x,y)到定點的距離等于到定直線l的距離.
          (Ⅰ)求動點M的軌跡方程;
          (Ⅱ)動點M的軌跡上的點到直線3x+4y+12=0的距離的最小值為1,求p的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年河南省洛陽市高一(上)期末數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

          已知動點M(x,y)到定點F(0,1)的距離等于它到定直線l:y+1=0的距離
          (1)求點M的軌跡方程
          (2)經(jīng)過點F,傾斜角為30°的直線m交M的軌跡于A、B兩點,求|AB|
          (3)設(shè)過點G(0,4)的直線n交M的軌跡于C(x1,y1),D(x2,y2),O為坐標原點.證明:OC⊥OD.

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