【題目】已知,
.
(1)討論的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,證明:
.
【答案】(1)在
上單調(diào)遞減;在
和
上單調(diào)遞增.(2)見解析
【解析】
(1)先求函數(shù)的定義域,再進(jìn)行求導(dǎo)得,對
分成
,
,
三種情況討論,求得單調(diào)區(qū)間;
(2)要證由,等價于證明
,再對
分
,
兩種情況討論;證明當(dāng)
時,不等式成立,可先利用放縮法將參數(shù)
消去,轉(zhuǎn)化成證明不等式
成立,再利用構(gòu)造函數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)證明其最小值大于0即可。
(1)的定義域為
,
,
當(dāng)時,由
,得
;
由,得
,
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,由
,得
或
;
由,得
;
所以在
上單調(diào)遞減,在
和
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,由
,得
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,由
,得
或
;由
,得
;
所以在
上單調(diào)遞減;在
和
上單調(diào)遞增.
(2)由,得
,
①當(dāng)時,
,
,不等式顯然成立;
②當(dāng)時,
,由
,得
,
所以只需證:,
即證,令
,
則,
,
令,
則,
令,
則,
所以在
上為增函數(shù),
因為,
,
所以存在,
,
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
又因為,
,
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞減,
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞增,
所以,
所以,
所以原命題得證
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐的四個頂點都在球
的表面上,
平面
,
,
,
,
,則:(1)球
的表面積為__________;(2)若
是
的中點,過點
作球
的截面,則截面面積的最小值是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高三年級某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區(qū)間為:.其中a,b,c成等差數(shù)列且
.物理成績統(tǒng)計如表.(說明:數(shù)學(xué)滿分150分,物理滿分100分)
分組 | |||||
頻數(shù) | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,請估計數(shù)學(xué)成績的平均分;
(2)根據(jù)物理成績統(tǒng)計表,請估計物理成績的中位數(shù);
(3)若數(shù)學(xué)成績不低于140分的為“優(yōu)”,物理成績不低于90分的為“優(yōu)”,已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人,從此6人中隨機(jī)抽取3人,記X為抽到兩個“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù),求X的分布列和期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線,每條生產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障.各條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)故障相互獨立,且出現(xiàn)故障的概率為.
(1)求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率;
(2)為提高生產(chǎn)效益,該企業(yè)決定招聘名維修工人及時對出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進(jìn)行維修.已知每名維修工人每月只有及時維修1條生產(chǎn)線的能力,且每月固定工資為1萬元.此外,統(tǒng)計表明,每月在不出故障的情況下,每條生產(chǎn)線創(chuàng)造12萬元的利潤;如果出現(xiàn)故障能及時維修,每條生產(chǎn)線創(chuàng)造8萬元的利潤;如果出現(xiàn)故障不能及時維修,該生產(chǎn)線將不創(chuàng)造利潤,以該企業(yè)每月實際獲利的期望值為決策依據(jù),在與
之中選其一,應(yīng)選用哪個?(實際獲利=生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤-維修工人工資)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III.在整個圖形中隨機(jī)取一點,此點取自I,II,III的概率分別記為p1,p2,p3,則
A. p1=p2 B. p1=p3
C. p2=p3 D. p1=p2+p3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,
為其焦點,
為其準(zhǔn)線,過
任作一條直線交拋物線于
兩點,
、
分別為
、
在
上的射影,
為
的中點,給出下列命題:
(1);(2)
;(3)
;
(4)與
的交點的
軸上;(5)
與
交于原點.
其中真命題的序號為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的側(cè)面
是正方形,平面
平面
,
,
,點
在
上,
,
是
的中點.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)判斷平面與平面
是否垂直,直接寫出結(jié)論,不必說明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=,f(x)=g'(x)-
(a是常數(shù)).若對a∈R,函數(shù)h(x)=kx(k是常數(shù))的圖象與曲線y=f(x)總相切于一個定點.
(1)求k的值;
(2)若對∈(0,+∞),[f(
)-h(
)][f(
)-h(
)]>0,求實數(shù)a的取值范圍.
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