Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求平面AMC與平面ABC夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，證明DC⊥面PAD，可得面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出平面AMC、ABC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面AMC與平面ABC夾角的余弦值．

解答： 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，

1

2

）．
（Ⅰ）證明：因?yàn)?span id="jn5a0c4" class="MathJye">

AP

=（0，0，1），

DC

=（0，1，0），
所以

AP

•

DC

=0，所以AP⊥DC．
由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（II）解：平面PAC的法向量為

n

=（x，y，z），
∵

AC

=（1，1，0），

MA

=（0，1，

1

2

）
∴由

n • AC =0 n • MC =0

，可得

x+y=0 y+ 1 2 z=0

∴可取

n

=（1，-1，2）
∵平面ABC的法向量

AP

=（0，0，1）
∴cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n | AP |

=

6

3

∴平面AMC與平面ABC夾角的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．