Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，f（x）取極小值-

1

3

．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f(x1)-f(x2)|≤

4

3

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇偶性判斷bd的值，再有在1處的極值求出a．
（2）用假設(shè)法證明，假設(shè)存在兩點(diǎn)，在得出結(jié)果與假設(shè)矛盾．
（3）函數(shù)在1和-1處取代極值，判斷其為最值，根據(jù)兩最值之差最大，證明問(wèn)題．

解答：（I）解：因?yàn)閳D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）為奇函數(shù)，所以b=0，d=0
所以f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
由題意得

f(1)=a+c=- 1 3 f′(1)=3a+c=0

，
解得a=

1

6

，c=-

1

2

（II）不存在．
證明：假設(shè)存在x₁，x₂，則f'（x₁）•f'（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-4
因?yàn)閤₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-4
所以不存在．
（III）證明：f′(x)=

1

2

x2-

1

2

由f′(x)=

1

2

x2-

1

2

=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-

1

3

，fmax(x)=f(-1)=

1

3

所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=

2

3

＜

4

3

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)奇偶性對(duì)應(yīng)的奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)的值以及偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)的值，考查反正發(fā)的使用，考查兩數(shù)之間最值之差最大，為中等題，