Question

已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)E（8，0），F(xiàn)（5，0）的距離之比等于2，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）求k的取值范圍；
（2）分別取k=0及k=

1

2

，在弦AB上，確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)，使

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

（|OA|＜|OB|）成立．由此猜想出一般結(jié)論，并給出證明．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)E（8，0），F(xiàn)（5，0）的距離之比等于2，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，整理后，即可得到曲線C的方程；
（II）（1）結(jié)合（I）的結(jié)論，直線l：y=kx與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，則直線與圓相交，則圓心到直線的距離小于半徑，由此構(gòu)造關(guān)于k的方程，即可得到答案．
（2）將k=0及k=

1

2

代入，求出滿足條件的Q的坐標(biāo)，分析后可猜想Q在直線x=3上．則我們可以聯(lián)立方程，求出滿足條件的直線方程，驗(yàn)證是否為直線x=3；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），依題意有：

|ME|

|MF|

=2，
∴

(x-8)2+y2

(x-5)2+y2

=2，（2分）
整理得曲線C的方程為（x-4）²+y²=4．（4分）
解：（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，要使線l：y=kx與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)，只需曲線C的圓心（4，0）到直線l的距離小于圓的半徑2．
∴

|4k|

k2+1

＜2，
解得，-

3

3

＜k＜

3

3

．（7分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則有0＜x₁＜x₀＜x₂．
當(dāng)k=0時(shí)，A（2，0），B（6，0），
由

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

知，

x0-2

6-x0

=

2

6

，
∴x₀=3，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）．（8分）
當(dāng)k=

1

2

時(shí)，由

y= 1 2 x (x-4)2+y2=4

得方程5x²-32x+48=0，∴x1+x2=

32

5

，x1x2=

48

5

由

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

知，

x0-x1

x2-x0

=

x1

x2

，
整理得x0=

2x1x2

x1+x2

=3，∴y0=

3

2

∴即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，

3

2

）．（10分）
猜想，點(diǎn)Q在直線x=3上．（11分）
證明如下：
方法1，由

y=kx (x-4)2+y2=4

得（1+k²）x²-8x+12=0，（12分）
∴x1+x2=

8

1+k2

①，x1x2=

12

1+k2

②
由

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

知，

x0-x1

x2-x0

=

x1

x2

，
整理得x0=

2x1x2

x1+x2

=3
即點(diǎn)Q在定直線上，這條直線的方程是x=3．（15分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，其中利用坐標(biāo)法求了滿足條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是解答本題的關(guān)鍵．