Question

【題目】如圖，矩形和等邊三角形中， ，平面平面．

（1）在上找一點(diǎn)，使，并說明理由；

（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

【解析】試題分析：(1) 分別取的中點(diǎn)，利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可證明面，進(jìn)而得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面法向量成的角去求解.

試題解析：（1）為線段的中點(diǎn)，理由如下：

分別取的中點(diǎn)，連接，

在等邊三角形中， ，又為矩形的中位線，

，而，

所以面，所以；

（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， ，三角形為等邊三角形， ．

于是，

設(shè)面的法向量，所以，得，

則面的一個法向量，又是線段的中點(diǎn)，

則的坐標(biāo)為，于是，且，

又設(shè)面的法向量，

由，得，取，則，

平面的一個法向量，

所以，

平面與平面所成銳二面角的余弦值為．