Question

（2013•合肥二模）已知a=

∫

π 2 0

[（sin

x

2

）²-

1

2

]dx：，則（ax+

1

2ax

）⁹展開(kāi)式中，關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)為（　　）

• A．-

  63

  16

• B．

  63

  16

• C．-

  63

  8

• D．

  63

  8

Answer 1

分析：先求定積分得到a的值，在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求出r的值，即可求得關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：已知a=

∫

π 2 0

[（sin

x

2

）²-

1

2

]dx=

∫

π 2 0

[

1-cosx

2

-

1

2

]dx=

∫

π 2 0

 

-cosx

2

dx=（-

1

2

sinx）

|

π 2 0

=-

1

2

，
則（ax+

1

2ax

）⁹ =-(

x

2

+

1

x

)9，故它的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=-

C

r 9

•(

x

2

)9-r•x^-r=-

C

r 9

•2^r-9•x^9-2r．
令9-2r=1，解得r=4，故關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)為-

C

4 9

×2^-5=-

63

16

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求定積分的值，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．