Question

已知函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2sinωx，-1），

b

=(2sin(

2π

3

-ωx)，1)，ω＞0，f（x）的圖象與直線y=-2的交點的橫坐標成公差為π的等差數(shù)列．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，A=

3

，b+c=3，F(xiàn)（A）=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由向量的數(shù)量積可得f（x）=

a

•

b

=2sin（2ωx-

π

6

），再結合“f（x）的圖象與直線y=-2的交點的橫坐標成公差為π的等差數(shù)列”可得T=π，從而可得ω，于是得到f（x）的解析式；
（2）根據(jù)a=

3

，b+c=3，F(xiàn)（A）=2，利用余弦定理可求得bc=2，繼而可得△ABC的面積．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=2sinωx•2sin（

2π

3

-ωx）-1
=2sin（2ωx-

π

6

），
∵f（x）的圖象與直線y=-2的交點的橫坐標成公差為π的等差數(shù)列，
∴T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
（2）∵f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∴A=

π

3

．
∵3=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b-c）²-3bc=9-3bc，
∴bc=2，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點評：本題以平面向量數(shù)量積的運算為載體考查角函數(shù)中的恒等變換應用及余弦定理，求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）是關鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．