Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

-sin

x

2

)，x∈[0，

π

2

]
（1）用x的式子表示； 

a

.

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函數(shù)f(x)=

a

.

b

-4|

a

+

b

|的值域；
（3）設(shè)g(x)=

a

.

b

+t|

a

+

b

|，若關(guān)于x的方程g（x）+2=0有兩不同解，求t的取值范圍？．

Answer 1

分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和的余弦公式可求

a

•

b

；根據(jù)平面向量的數(shù)量積 的性質(zhì)可知，要求|

a

+

b

|
，只要先求|

a

+

b

|2，根據(jù)向量的運(yùn)算可求
（2）由f(x)=

a

•

b

-4|

a

+

b

|=cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1=2（cosx-2）²-9結(jié)合x∈[0，

π

2

] 可得cosx∈[0，1]從而可求f（x）
（3）g（x）+2=0?cos2x+2tcosx+2=0?2cos²x+2tcosx+1=0有兩不同解，
令cosx=μ∈[0，1），F(xiàn)（μ）=2μ²+2tμ+1在[0，1）上有兩不同解
結(jié)合方程的實(shí)根分布可得

△=4t2-8＞0 0＜- 2t 4 ＜1 F(0)≥0 F(!)≥0

解不等式可得

解答：解：（1）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x
∵|

a

+

b

|2=1+2cos2x+1=2（1+cos2x）=4cos²x
∴|

a

+

b

|=2cosx  x∈[0，

π

2

]
（2）∵f(x)=

a

•

b

-4|

a

+

b

|=cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1=2（cosx-2）²-9
∵x∈[0，

π

2

]∴cosx∈[0，1]∴f（x）∈[-7，-1]
（3）∵g（x）+2=0
∴cos2x+2tcosx+2=0
即2cos²x+2tcosx+1=0
令cosx=μ∈[0，1），F(xiàn)（μ）=2μ²+2tμ+1
∴

△=4t2-8＞0 0＜- 2t 4 ＜1 F(0)≥0 F(!)≥0

∴t∈[-

3

2

，-

2

)

點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的試題一般是利用平面向量為工具，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的 形式，利用三角的知識求解函數(shù)的最值（或值域），而以三角形式出現(xiàn)的二次函數(shù)要在求最值時(shí)要注意范圍的限制條件