Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n=2n²，{b_n}為等比數列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=

an

bn

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知利用遞推公式an=

S1       n=1 sn-sn-1  n≥2

可得a_n，代入分別可求數列b_n的首項b₁，公比q，從而可求b_n
（II）由（I）可得c_n=（2n-1）•4^n-1，利用乘“公比”錯位相減求和．

解答：解：（1）：當n=1時，a₁=S₁=2；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
故{a_n}的通項公式為a_n=4n-2，即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差數列．
設{b_n}的公比為q，則b₁qd=b₁，d=4，∴q=

1

4

．
故b_n=b₁q^n-1=2×

1

4n-1

，即{b_n}的通項公式為b_n=

2

4n-1

．
（II）∵c_n=

an

bn

=

4n-2

2 4n-1

=（2n-1）4^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
T_n=1+3×4¹+5×4²+…+（2n-1）4^n-1
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-3）4^n-1+（2n-1）4ⁿ
兩式相減得，3T_n=-1-2（4¹+4²+4³+…+4^n-1）+（2n-1）4ⁿ=

1

3

[（6n-5）4ⁿ+5]
∴T_n=

1

9

[（6n-5）4ⁿ+5]

點評：（I）當已知條件中含有s_n時，一般會用結論an=

s1          n=1 sn-sn-1   n≥2

來求通項，一般有兩種類型：①所給的s_n=f（n），則利用此結論可直接求得n＞1時數列{a_n}的通項，但要注意檢驗n=1是否適合②所給的s_n是含有a_n的關系式時，則利用此結論得到的是一個關于a_n的遞推關系，再用求通項的方法進行求解．
（II）求和的方法的選擇主要是通項，本題所要求和的數列適合乘“公比”錯位相減的方法，此法是求和中的重點，也是難點．