Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0，-

3

)，(0，

3

)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)(0，

3

)作兩條互相垂直的直線l₁、l₂分別與曲線C交于A、B和C、D，以線段AB為直徑的圓過(guò)能否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若能，求直線AB的斜率，若不能說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題中條件：“點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，”結(jié)合橢圓的定義知其軌跡式樣，從而求得其方程．
（2）先將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去y得到一個(gè)一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量垂直的條件列關(guān)于k方程式即可求得參數(shù)k值．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（2）設(shè)直線l1：y=kx+

3

，分別交曲線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿(mǎn)足

x2+ y2 4 =1 y=kx+ 3 .

消去y并整理得(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，
故x1+x2=-

2 3 k

k2+4

，x1x2=-

1

k2+4

．
以線段AB為直徑的圓過(guò)能否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y1y2=k2x1x2+

3

k(x1+x2)+3，
于是x1x2+y1y2=-

1

k2+4

-

k2

k2+4

-

6k2

k2+4

+3=0，化簡(jiǎn)得-4k²+11=0，所以k=±

11

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題及方程思想，定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．