Question

(本小題滿(mǎn)分14分)

已知函數(shù)的減區(qū)間是．

⑴試求、的值；

⑵求過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)相切的切線(xiàn)方程；

⑶過(guò)點(diǎn)是否存在與曲線(xiàn)相切的3條切線(xiàn)，若存在，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：⑴ 由題意知：的解集為，

 所以，-2和2為方程的根……2分

                     

由韋達(dá)定理知，即m=1，n=0． ……4分

⑵ ∵，∴，∵

當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，切線(xiàn)的斜率 ，

∴切線(xiàn)為，

即； ……6分

當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，這時(shí)切線(xiàn)的斜率是，

切線(xiàn)方程為，即   

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A（1，-11），  ，∴，

∴ 或，而為A點(diǎn)，即另一個(gè)切點(diǎn)為，

∴ ，

切線(xiàn)方程為 ，即 ………………8分

所以，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)為或． …9分

⑶ 存在滿(mǎn)足條件的三條切線(xiàn)．                                  

設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)的切點(diǎn)，

則在P點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為  即

因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)A（1，t），所以，，   

由于有三條切線(xiàn)，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根，         ……………11分

設(shè)，只要使曲線(xiàn)有3個(gè)零點(diǎn)即可．

因?yàn)?=0， ∴ ，

當(dāng)時(shí)，在和 上單增，

當(dāng)時(shí)，在上單減，

所以，為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn).

所以要使曲線(xiàn)與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)即，

解得   .                                ………14分

【解析】略