Question

（2013•杭州二模）在幾何體中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，CC₁∥AA₁，AB=BC，AA₁=2，CC₁=1，D，E分別是AB，AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角E-DC-A的平面的正切值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的中位線定理可證DE∥平面A₁BC₁．利用平行四邊形的判定定理可證四邊形ECC₁A₁是平行四邊形，進(jìn)而證明EC∥平面A₁BC₁，利用兩個(gè)平面平行的判定定理得到平面DEC∥平面A₁BC₁．利用兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論；
（II）通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：證明：（I）在△AA₁B中，
∵D，E分別是AB，AA₁的中點(diǎn)，
∴DE∥BA₁，
又∵DE?平面A₁BC₁，A₁B?平面A₁BC₁，
∴DE∥平面A₁BC₁．
∵AA₁=2，CC₁=1，E分別是AA₁的中點(diǎn)，
∴EA₁=CC₁，
又∵CC₁∥AA₁，∴四邊形ECC₁A₁是平行四邊形，
∴EC∥A₁C₁．
而EC?平面A₁BC₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴EC∥平面A₁BC₁，
∵ED∩EC=E，ED，EC?平面DEC，
∴平面DEC∥平面A₁BC₁．
∴BC₁∥平面CDE；
（II）∵AA₁⊥平面ABC，
∴可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，1），A（0，0，0）．
不妨設(shè)AC=4a（a＞0），
∵AB⊥BC，AB=BC，D是AB的中點(diǎn)．
則C（0，4a，0），B（2a，2a，0），D（a，a，0）．
∴

DC

=(-a，3a，0)，

DE

=(-a，-a，1)．
設(shè)平面CDE的法向量為

n

=(x，y，z)，則

-ax+3ay=0 -ax-ay+z=0

令y=1，則x=3，z=4a．
∴

n

=(3，1，4a)．
∵AA₁⊥平面ABC，
∴可 取

AA1

=(0，0，2)作為平面ABC的法向量．
∴cos＜

n

，

AA1

＞=

n • AA1

| n | | AA1 |

=

8a

2 10+16a2

=

4a

10+16a2

，
∴sin＜

n

，

AA1

＞=

1-( 4a 10+16a2 )2

=

10

10+16a2

，
∴tan＜

n

，

AA1

＞=

10

4a

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面與平面平行的判定和性質(zhì)定理、通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關(guān)鍵．