Question

【題目】已知.

（1）設(shè)， ，若函數(shù)存在零點，求的取值范圍；

（2）若是偶函數(shù)，設(shè)，若函數(shù)與的圖象只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析；

【解析】試題分析：（1）函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為方程有解，只需求函數(shù)的值域， 的取值范圍即為其值域；

（2）根據(jù)是偶函數(shù)，利用特殊值求，函數(shù)與的圖象只有一個公共點，即方程有一解，得方程有一解，換元轉(zhuǎn)化為一元二次方程只有一正根的問題，分類討論即可求出.
（1）由題意函數(shù)存在零點，即有解.

又 ，

易知在上是減函數(shù)，又， ，即，

所以的取值范圍是.

（2），定義域為， 為偶函數(shù)

檢驗： ，

則為偶函數(shù)，

因為函數(shù)與的圖象只有一個公共點，

所以方程只有一解，即只有一解，

令 ，則有一正根，

當(dāng)時， ，不符合題意，

當(dāng)時，若方程有兩相等的正根，則且 ，解得，

若方程有兩不相等實根且只有一正根時，因為圖象恒過點，只需圖象開口向上，所以即可，解得，

綜上， 或，即的取值范圍是.