Question

（2012•北京模擬）（1）下面圖形由單位正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，在橫線上方處畫出下一個適當(dāng)?shù)膱D形；

（2）圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在如圖所示的四個三角形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列的前四項，依此著色方案繼續(xù)對三角形著色，求著色三角形的個數(shù)的通項公式b_n

（3）依照（1）中規(guī)律，繼續(xù)用單位正方形繪圖，記每個圖形中單位正方形的個數(shù)為a_n（n=1，2，3，…），設(shè)cn=

2anbn

n+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由前三個圖形小正方形的排列規(guī)律，不難得出第四個圖形有四層，從上至下分別為1個、2個、3個、4個小正方形．
（2）由圖形從左向右數(shù)著色的三角形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)后一個圖形中的著色三角形個數(shù)是前一個的3倍，所以{b_n}構(gòu)成以1為首項，公比為3的等比數(shù)列，由此不難得到{b_n}的通項公式；
（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，易得cn=n•3n-1，發(fā)現(xiàn){c_n}是一個等差數(shù)列和等數(shù)列的對應(yīng)項相乘而得的一個新數(shù)列，接下來可用錯位相減法，來求它的前n項和S_n．

解答：解：（1）在第一個圖形中，只有一層，一個小正方形；
在第二個圖形中，有兩層，從上至下分別為1個、2個小正方形；
在第三個圖形中，有三層，從上至下分別為1個、2個、3個小正方形；
由此歸納：第四個圖形中，有四層，從上至下分別為1個、2個、3個、4個小正方形．
因此答案如右圖所示：
（2）由圖形從左向右數(shù)著色的三角形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)后一個圖形中的著色三角形個數(shù)是前一個的3倍，
所以，所以{b_n}構(gòu)成以1為首項，公比為3的等比數(shù)列，由此不難得到{b_n}的通項公式，
∴由等比數(shù)列的通項公式，可得著色三角形的個數(shù)的通項公式為：bn=3n-1．
（3）由題意，可得a_n=1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，
∴cn=

2× n(n+1) 2 ×3n-1

n+1

=n•3n-1，
所以 Sn=1•30+2•31+…+n•3n-1．①
所以 3Sn=1•31+2•32+…+(n-1)•3n-1+n•3n．②
①-②得 -2Sn=(30+31+…+3n-1)-n•3n．
所以-2S_n=

1-3n

1-3

-n•3n．
即Sn=

(2n-1)•3n+1

4

，其中n∈N₊

點評：本題以數(shù)列的通項與求和為載體，著重考查了歸納推理的一般方法，考查了學(xué)生的讀圖能力，屬于中檔題．