Question

【題目】已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， S4=30，過點(diǎn)P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n∈N*）的直線的一個(gè)方向向量為（﹣1，﹣1）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn= ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 證明：對(duì)于任意n∈N* ， 都有Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S4=30，

過點(diǎn)P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n∈N*）的直線的一個(gè)方向向量為（﹣1，﹣1），

∴ ，

解得 ，q=4，

∴an= ．

（2）解：∵bn= = = （ ﹣ ），

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和：

Tn= （ + + +…+ + ）

= （ ﹣ ）

= （ + ﹣ ﹣ ）

＜ ．

∴對(duì)于任意n∈N*，都有Tn

【解析】（1）利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及直線的方向向量性質(zhì)列出方程組，由此能求出首項(xiàng)和公比，從而能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）由bn= = （ ﹣ ），利用裂項(xiàng)法能證明對(duì)于任意n∈N* ， 都有Tn ．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．