已知為函數(shù)
圖象上一點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),記直線
的斜率
.
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間
上存在極值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)如果對(duì)任意的,
,有
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(Ⅰ)(Ⅱ)
.
解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)直線的斜率公式寫出函數(shù)的解析式,再利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值存在時(shí)參數(shù)
的取值范圍.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
在
上單調(diào)遞減,不妨設(shè)
,
則函數(shù)
在
上單調(diào)遞減。再用導(dǎo)數(shù)研究
的單調(diào)性.
試題解析:解:(Ⅰ)由題意,
,所以
2分
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.所以
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,故
在
處取得極大值. 3分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間
(其中
)上存在極值,所以
,得
.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是
. 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 在
上單調(diào)遞減,不妨設(shè)
,則
函數(shù)
在
上單調(diào)遞減。 8分
由,則
在
上恒成立,所以
在
上恒成立,所以,故
. 13分
考點(diǎn):1、直線斜率公式;2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用國(guó).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格x的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)直線是曲線
的一條切線,
.
(1)求切點(diǎn)坐標(biāo)及的值;
(2)當(dāng)時(shí),存在
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
學(xué)校操場(chǎng)邊有一條小溝,溝沿是兩條長(zhǎng)150米的平行線段,溝寬為2米,,與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線,拋物線的頂點(diǎn)為
,對(duì)稱軸與地面垂直,溝深2米,溝中水深1米.
(Ⅰ)求水面寬;
(Ⅱ)如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體,已知柱體的體積為底面積乘以高,求溝中的水有多少立方米?
(Ⅲ)現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖(不準(zhǔn)填土)成截面為等腰梯形的溝,使溝的底面與地面平行,溝深不變,兩腰分別與拋物線相切(如圖2),問(wèn)改挖后的溝底寬為多少米時(shí),所挖的土最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的最大值和最小值.
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已知函數(shù),
.
(1)若,則
,
滿足什么條件時(shí),曲線
與
在
處總有相同的切線?
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)減區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),若
對(duì)任意的
恒成立,求
的取值的集合.
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已知函數(shù).
(1)證明函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
(2)若不等式對(duì)任意的
都成立,(其中
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)(
為常數(shù)),其圖象是曲線
.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)減區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為
,若存在唯一的實(shí)數(shù)
,使得
與
同時(shí)成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)已知點(diǎn)為曲線
上的動(dòng)點(diǎn),在點(diǎn)
處作曲線
的切線
與曲線
交于另一點(diǎn)
,在點(diǎn)
處作曲線
的切線
,設(shè)切線
的斜率分別為
.問(wèn):是否存在常數(shù)
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在
上的最大值;
(2)令,若
在區(qū)間
上不單調(diào),求
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)
的圖象與
軸交于兩點(diǎn)
,且
,又
是
的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)
滿足條件
.證明:
.
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