Question

設，給出下列四個命題：
①函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；
②把f（x）圖象按向量平移后得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）是偶函數(shù)；
③存在使
④函數(shù)y=|f（x）|的最小正周期是π；其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)向量數(shù)量積坐標運算法則，結(jié)合三角恒等變換化簡得f（x）=sin（2x+）．由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，解關(guān)于x的不等式得到是函數(shù)f（x）的一個減區(qū)間，故①正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移公式和誘導公式，可得f（x）圖象按向量平移后得到y(tǒng)=cos2x的圖象，是偶函數(shù)故②正確；由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得當時f（x）的最小值大于1，因此③不正確；根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期和y=|sinx|的圖象特征，得到④不正確．
解答：解：∵，
∴=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+）
①∵令2x+∈[+2kπ，+2kπ]（k∈Z），可得x∈[+kπ，+2kπ]（k∈Z）
∴取k=0，得區(qū)間是函數(shù)f（x）的一個減區(qū)間，故①正確；
②把f（x）圖象按向量平移后，得到y(tǒng)=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+），
即y=cos2x的圖象，所以平移后的圖象為偶函數(shù)，故②正確；
③當時，2x+∈（，），可得sin（2x+）∈（，1）
∴f（x）=sin（2x+）∈（1，）．故不存在使，從而③不正確；
④∵f（x）=sin（2x+）的周期為T==π，
∴y=|f（x）|的周期為×π=，因此④不正確
綜上所述，可得正確的命題只有①②
故答案為：①②
點評：本題以向量的數(shù)量積運算為載體，求函數(shù)f（x）=sin（2x+）的圖象與性質(zhì)．著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．