Question

已知a＞0，≠1，f（loga^x）=（x-）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式，并寫出函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并給出證明；
（3）若不等式f（x²）+f（kx+1）≤0對實數(shù)x∈（1，2）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令log_ax=t則x=a^t
所以f（t）=（a^t-a^-t）
f（x）=（a^x-a^-x），定義域為R

（2）f′（x）=lna（a^x+a^-x）
當a＞1時，＞0，lna＞0，
f′（x）＞0，f（x）在R上單增
當0＜a＜1時，＜0，lna＜0f′（x）＞0，f（x）在R上單增
總之f（x）在R單增

（3）∵f（x）=
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x²）+f（kx+1）≤0
即為f（x²）≤f（-kx-1）
∵f（x）單增
∴不等式f（x²）+f（kx+1）≤0對實數(shù)x∈（1，2）恒成立
即為x²≤-kx-1對實數(shù)x∈（1，2）恒成立
即-k≥x+對實數(shù)x∈（1，2）恒成立
∵x+
∴-k≥
∴k≤-
分析：（1）通過令log_ax=t求出x，將t與x代入求出f（x）．
（2）求出f（x）的函數(shù)，通過對a分類討論判斷出導函數(shù)的符號，據(jù)導函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性．
（3）求出f（-x），判斷出函數(shù)的奇偶性，將不等式變形，利用奇偶性及單調(diào)性將符號f脫去，分離出k，求函數(shù)的范圍，求出k的范圍．
點評：本題考查知f（ax+b）求f（x）常用換元法、考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、考查利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性解不等式．