Question

【題目】對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意，都有，且對任意，當(dāng)時，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“平底型”函數(shù).

（1）判斷函數(shù)和是否為上的“平底型”函數(shù)？

（2）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值.

Answer 1

【答案】（1） 是“平底型”函數(shù), 不是“平底型”函數(shù);（2） .

【解析】

試題分析：（1）分區(qū)間去掉絕對值符號，分別討論與的性質(zhì)與“平底型”函數(shù)定義對照即可；

（2） 函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)等價于存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立，即恒成立，亦即，解之即可.

試題解析： （1）對于函數(shù)，當(dāng)時，.

當(dāng)或時，恒成立，故是“平底型”函數(shù).

對于函數(shù)，當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

所以不存在閉區(qū)間，使當(dāng)時，恒成立，故不是“平底型”函數(shù).

（2）因為函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，則

存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立.

所以恒成立，即解得或.

當(dāng)時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，恒成立，此時，是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).

當(dāng)時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，恒成立，此時，不是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).

綜上分析，為所求.