Question

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺，需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為R（x）=5x-（萬元）(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）.

（1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；

（2）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？

（3）年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？

Answer 1

（1）L（x）==

（2）生產(chǎn)475臺時利潤最大(3) 產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺至4 800臺時，工廠不虧本

解析:

（1）當(dāng)x≤5時，產(chǎn)品能售出x百臺；

當(dāng)x＞5時，只能售出5百臺，

故利潤函數(shù)為L（x）=R（x）-C（x）

=

  (2)當(dāng)0≤x≤5時，L（x）=4.75x--0.5，

當(dāng)x=4.75時，L(x)_max=10.781 25萬元.

當(dāng)x＞5時，L（x）=12-0.25x為減函數(shù)，

此時L（x）＜10.75(萬元）.∴生產(chǎn)475臺時利潤最大.

（3）由

得x≥4.75-=0.1(百臺）或x＜48(百臺).

∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺至4 800臺時，工廠不虧本.