Question

如圖，底面是矩形的四棱錐P—ABCD中AB=2，BC=，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD.

（1）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；

（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；

（3）求直線AB與平面PCD的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析

（2）45°

（3）

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中，面面垂直問題，以及線面角的求解，和線面的距離的相關(guān)知識的理解和運(yùn)用。側(cè)重在判定定理和性質(zhì)定理的靈活運(yùn)用上。

（I）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB      又∵面PAB⊥底面ABCD側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB      ∴BC⊥側(cè)面PAB     又∵BC側(cè)面PBC    ∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC）       4分

  （II）解：取AB中點(diǎn)E，連結(jié)PE、CE     又∵△PAB是等邊三角形   ∴PE⊥AB 

    又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD     ∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角

     在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求

   （Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD      ∵CD側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD，∴AB//側(cè)面PCD

    取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，則EF⊥AB    又∵PE⊥AB    ∴AB⊥平面PEF   又∵AB//CD

    ∴CD⊥平面PEF   ∴平面PCD⊥平面PEF    作EG⊥PF，垂足為G，則EC⊥平面PCD

    在Rt△PEF中，EG=為所求.