Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，

E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)．

（1）求證：EF⊥平面PAB；

（2）設(shè)，求直線(xiàn)AC與平面AEF所成角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）求出直線(xiàn)EF所在的向量，再求出平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)所在的向量，然后利用向量的數(shù)量積為0，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得到線(xiàn)面垂直．

（2）求出平面的法向量以及直線(xiàn)所在的向量，再利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面角，即可解決問(wèn)題．

解：以D為從標(biāo)原點(diǎn)，DC、DA、DP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．設(shè)AB=a，

則A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），

（1）由題意可得：=0×0+1×2+1×（-2）=0，=0×a+1×2+1×（-2）=0

∴EF⊥PA，EF⊥PB．

∴EF⊥平面PAB．

（2）AB=2=（0，1，1）．

設(shè)平面AEF的法向量，

則

令y=1，則x=，所以

又．

所以sinθ= ．