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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,AB=2,△PCB為正三角形,且平面PCB⊥平面ABCD,M,N分別為BC,PD的中點.
          (1)求證:MN面APB;
          (2)求二面角B-NC-P的余弦值;
          (3)求四棱錐P-ABCD被截面MNC分成的上下兩部分體積之比.
          (1)證明:取AD中點O,連接MO,NO,
          ∵M,N分別為DE,PB的中點,
          ∴ONPA,ON面PAB
          又∵四邊形ABCD為平行四邊形,
          ∴OMAB,∵OM在平面PAB外,AB?平面PAB,
          ∴OM面PAB,
          ∵面MON面PAB,∴MN面PAB.(3分)
          (2)建立空間直角坐標系如圖,
          由題意知:P(0,0,
          3
          ),A(
          3
          ,0,0),B(0,-1,0),
          C(0,1,0),D(
          3
          ,2,0)
          ,
          ∵N為PD中點,∴N(
          3
          2
          ,1,
          3
          2
          )
          ,(4分)
          PN
          =(
          3
          2
          ,1,-
          3
          2
          ),
          PC
          =(0,1,-
          3
          )
          ,
          BN
          =(
          3
          2
          ,2,
          3
          2
          )
          ,
          BC
          =(0,2,0),
          令平面PNC的法向量
          n
          =(x,y,z)

          n
          PN
          =0,
          n
          PC
          =0
          ,
          3
          2
          x+y-
          3
          2
          z=0
          y-
          3
          z=0
          ,∴
          n
          =(-1,
          3
          ,1)

          設平面BNC的法向量
          m
          =(
          x1
          ,y1,z1)
          ,
          m
          BN
          =0,
          m
          BC
          =0
          ,
          3
          2
          x1+2y1+
          3
          2
          z1=0
          2y1=0
          ,∴
          m
          =(1,0,-1)
          ,(6分)
          ∴cos<
          m
          n
          >=
          -1+0-1
          5
          2
          =-
          10
          5
          ,
          ∵二面角B-NC-P的平面角為銳角,
          ∴二面角B-NC-P的余弦值為
          10
          5
          .(8分)
          (3)∵
          MP
          =(0,0,
          3
          ),平面MNC的法向量為
          m
          =(1,0,-1)
          ,
          ∴點P到平面MNC的距離d=|
          MP
          m
          m
          |=|
          -
          3
          2
          |=
          6
          2
          ,
          設PA中點為E,則NE=1,BC=2,
          BC
          =(0,2,0),
          CN
          =(
          3
          2
          ,0,
          3
          2
          )
          ,
          BC
          CN
          =0
          ,|
          CN
          |=
          練習冊系列答案
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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分別是AB,PC的中點,PA=2,PD=AB,且平面MND⊥平面PCD.
          (1)求證:MN⊥AB;
          (2)求二面角P-CD-A的大;
          (3)求三棱錐D-AMN的體積.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,點E是AB的中點,點F是BC的中點,將△AED,△CDF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點重合于A′.

          (1)求證:A′D⊥EF;
          (2)求二面角A′-EF-D的正切值.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

          如圖,P是二面角α-AB-β棱AB上的一點,分別在α,β上引射線PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小是 ______.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          已知梯形ABCD中,ADBC,∠ABC=∠BAD=
          π
          2
          ,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點,EFBC,AE=x,G是BC的中點.沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖).
          (1)當x=2時,求證:BD⊥EG;
          (2)若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x),求f(x)的最大值;
          (3)當f(x)取得最大值時,求二面角D-BF-C的余弦值.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          已知在三棱錐S-ABC中,底面是邊長為4的正三角形,側面SAC⊥底面ABC,M,N分別是AB,SB的中點,SA=SC=2
          3

          (1)求證AC⊥SB
          (2)求二面角N-CM-B的大小
          (3)求點B到面CMN的距離.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          一個四棱錐P一ABCD的正視圖是邊長為2的正方形及其一條對角線,側視圖和俯視圖全全等的等腰直角三角形,直角邊長為2,直觀圖如圖.
          (1)求四棱錐P一ABCD的體積:
          (2)求二面角C-PB-A大。
          (3)M為棱PB上的點,當PM長為何值時,CM⊥PA?

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          已知矩形ABCD中,AB=2,AD=5,E,F分別在AD,BC上且AE=1,BF=3,將四邊形AEFB沿EF折起,使點B在平面CDEF上的射影H在直線DE上.

          (1)求證:AD平面BFC;
          (2)求二面角A-DE-F的平面角的大小.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

          如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結論正確的是(  )
          A.PB⊥AD
          B.平面PAB⊥平面PBC
          C.直線BC∥平面PAE
          D.直線PD與平面ABC所成的角為45°

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