Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx，g(x)=-

1

2

x2+(a+1)x，其中a∈R．
（1）令h(x)=

f(x)

x

-g(x)，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的e＜x1＜x2＜e2，總有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出h^′（x），通過(guò)分類討論a即可得出其單調(diào)性；
（2）由已知對(duì)任意的e＜x1＜x2＜e2，總有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），令F(x)=f(x)-g(x)=axlnx+

1

2

x2-(a+1)x，可得y=F（x）在區(qū)間（e，e²）上為增函數(shù)．于是F'（x）=alnx+x-1≥0，對(duì)x∈（e，e²）恒成立，通過(guò)分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可．

解答：解：（1）∵h(x)=alnx+

1

2

x2-(a+1)x，（x＞0）．
∴h′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，a），（1，+∞），遞減區(qū)間為（a，1）；
③當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
④當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），（a，+∞），遞減區(qū)間為（1，a）．
（2）對(duì)任意的e＜x1＜x2＜e2，總有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，
即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂）
令F(x)=f(x)-g(x)=axlnx+

1

2

x2-(a+1)x，
由題意得y=F（x）在區(qū)間（e，e²）上為增函數(shù)．
∴F'（x）=alnx+x-1≥0，對(duì)x∈（e，e²）恒成立，
所以a≥

1-x

lnx

對(duì)x∈（e，e²）恒成立，
令?(x)=

1-x

lnx

，
則?′(x)=

-lnx- 1-x x

(lnx)2

=

-xlnx+x-1

x(lnx)2

=

x(1-lnx)-1

x(lnx)2

＜0，
所以?（x）在區(qū)間（e，e²）上單調(diào)遞減，
所以?（x）＜?（e）=1-e，
所以a≥1-e． 
所以a≥1-e． …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分類討論的思想方法、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、推理能力與計(jì)算能力．