Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足，令．
（1）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等差數(shù)列？并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式對(duì)一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）比較與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知配湊出4a_n+1+1、4a_n+1即b_n+1、b_n的形式，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義求解；
（2）構(gòu)造數(shù)列c_n=，在（1）的基礎(chǔ)上，求出c_n表達(dá)式，利用c_n的單調(diào)性求出c_n的最大值，從而轉(zhuǎn)化為不等式求解問題，進(jìn)而完成對(duì)a的探索．
（3）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性分n≤2和n≥3兩種情況探索．
解答：解：（1）由已知得，
即，（2分）
所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1，即b_n+1=b_n+1，
又b₁=1，所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
通項(xiàng)公式為b_n=n（n∈N^*）．
（2）令c_n=，
由，
得
=
所以，數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，（8分）
所以數(shù)列{c_n}的最大項(xiàng)為，
若不等式對(duì)一切n∈N^*都成立，只需，
解得，
又a＞0，a≠1，
所以a的取值范圍為．（12分）
（3）問題可轉(zhuǎn)化為比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大�。�
設(shè)函數(shù)，所以．
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x＞e時(shí)，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上為增函數(shù)；在（e，+∞）上為減函數(shù)．
當(dāng)n=1，2時(shí)，顯然有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）＞f（n+1），即，
所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnⁿ⁺¹＞ln（n+1）ⁿ，
所以nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
綜上：當(dāng)n=1，2時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，即；
當(dāng)n≥3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ即．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，分類討論、化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法，以及推理、分析與解決問題的能力．