Question

設(shè)M是又滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：在定義域存中在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立已知下列函數(shù)：
①f（x）=

1

x

；②f（x）=2^x；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx，其中屬于集合M的函數(shù)是（　�。�

A．①③

B．②③

C．③④

D．②④

Answer 1

分析：根據(jù)集合M的定義，可根據(jù)函數(shù)的解析式，f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）構(gòu)造方程，若方程有根，說明函數(shù)符合集合M的定義，若方程無根，說明函數(shù)不符號集合M的定義，由此對四個函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答：解：①中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則

1

x+1

=

1

x

+1，即x²+x+1=0，
∵△=1-4=-3＜0，故方程無解．即f（x）=∉M
②中，存在x=1，使f（x+1）=2^x+1=f（x）+f（1）=2^x+2成立，即f（x）=2^x∈M；
③中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程無解．即f（x）=lg（x²+2）∉M
④存在x=

1

3

，使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
綜上可知②④中的函數(shù)屬于集合M，
故選D

點評：本題考查的知識點是元素與集合關(guān)系的判斷，及其它方程的解法，掌握判斷元素與集合關(guān)系的方法，即元素是否滿足集合的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．