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        1. 如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,
          P、Q分別是CC1、C1D1的中點(diǎn).點(diǎn)P到直線AD1的距離為
          66
          4

          (1)求證:AC∥平面BPQ;
          (2)求二面角B-PQ-D的大。
          分析:先利用P到直線AD1的距離為
          66
          4
          ,計(jì)算棱AD的長(zhǎng),由與AD⊥DC⊥DD1,所以以這三條棱為軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo),(1)先利用線面垂直的判定,求出平面BPQ的法向量
          a
          ,再利用向量數(shù)量積運(yùn)算證明AC垂直于平面BPQ的法向量,從而AC平行于平面BPQ,(2)先證明平面DPQ的法向量為
          DA
          ,再結(jié)合(1),利用向量夾角公式計(jì)算兩個(gè)法向量的夾角的余弦值即可的二面角的大小
          解答:解:如圖1:設(shè)AD=a,則D到直線AD1的距離為
          AD×DD1
          AD1
          =
          a
          a2+1

          取DD1中點(diǎn)M,過(guò)M作MG⊥AD1,連接PM,PG
          則M到直線AD1的距離MG=
          a
          2
          a2+1

          ∵PM∥CD,∴PM⊥平面ADD1A1
          ∴AD1⊥PM,又MG⊥AD1,
          ∴AD1⊥平面PMG
          ∴PG⊥AD1
          ∴PG就是點(diǎn)P到直線AD1的距離
          ∴PG=
          66
          4

          在Rt△PMG中,PM2=PG2-MG2,即4=(
          66
          4
          )
          2
          -(
          a
          2
          a2+1
          )
          2
          ,
          解得a=1,即AD=1
          如圖2:建立空間直角坐標(biāo)系
          則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,2,
          1
          2
          ),Q(0,1,1)
          BP
          =(-1,1,
          1
          2
          ),
          PQ
          =(0,-1,
          1
          2
          ),
          AC
          =(-1,2,0)
          (1)證明:設(shè)平面BPQ的法向量為
          a
          =(x,y,z)
          a
          BP
           =-x+y+
          1
          2
          ×z=0
          a
          • 
          PQ
          =-y+
          1
          2
          ×z=0

          取其法向量為
          a
          =(2,1,2)
          AC
          a
          =-2+2+0=0

          AC
          a
          ,AC?平面BPQ
          ∴AC∥平面BPQ;
          (2)∵AD⊥平面DPQ
          ∴平面DPQ的法向量為
          DA
          =(1,0,0)
          由(1)知,平面BPQ的法向量為
          a
          =(2,1,2)
          ∴cos<
          DA
          a
          >=
          DA
          a
          |
          DA
          ||
          a
          |
          =
          2
          9
          =
          2
          3

          ∴二面角B-PQ-D的大小為arccos
          2
          3
          點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了點(diǎn)到直線的距離的作法、證法、求法,利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量證明線面平行、計(jì)算二面角的方法
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          精英家教網(wǎng)如圖:直三棱柱ABC-A′B′C′的體積為V,點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA′和CC′上,AP=C′Q,則四棱錐B-APQC的體積為
           

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          如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D為AC的中點(diǎn),AA1=AB=2.
          (1)求證:AB1∥平面BC1D;
          (2)若四棱錐B-DAA1C1的體積為2,求二面角C-BC1-D的正切值.

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          如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠ABC=45°,其側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為8的正方形.E、F分別是側(cè)棱AA1、CC1上的動(dòng)點(diǎn),AE+CF=8.
          (1)證明:BD⊥EF;
          (2)當(dāng)CF=
          14
          CC1時(shí),求面BEF與底面ABCD所成二面角的正弦值;
          (3)多面體AE-BCFB1的體積V是否為常數(shù)?若是,求這個(gè)常數(shù),若不是,求V的取值范圍.

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          (2012•房山區(qū)二模)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,E為棱CD的中點(diǎn).
          (Ⅰ)求證:A1C∥平面AED1;
          (Ⅱ)求證:平面AED1⊥平面CDD1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在四棱柱ABC-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AA1=4,AB=2,點(diǎn)E在棱CC1上,點(diǎn)E是棱C1C上一點(diǎn).
          (1)求證:無(wú)論E在任何位置,都有A1E⊥BD
          (2)試確定點(diǎn)E的位置,使得A1-BD-E為直二面角,并說(shuō)明理由.
          (3)試確定點(diǎn)E的位置,使得四面體A1-BDE體積最大.并求出體積的最大值.

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