Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項的和s_n=n²+1，數(shù)列{b_n}中bn=

2

an+1

，其前n項的和為T_n，設(shè)c_n=T_2n+1-T_n
（1）求b_n；      
（2）判斷數(shù)列{c_n}的單調(diào)性；
（3）當(dāng)n≥2時，T2n+1-Tn＜

1

5

-

7

12

loga(a-1)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列中Sn與a_n關(guān)系，先求出a_n，再由b_n=

2

an+1

，求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由c_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

，知c_n+1-c_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0，所以{c_n}是遞減數(shù)列．
（3）由題意須

1

5

-

7

12

loga(a-1)大于等于c_n的最大值，轉(zhuǎn)化成對數(shù)不等式的解，求出a的取值范圍．

解答：解：（1）a₁=2，a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
∴b_n=

2 3 (n=1) 1 n (n≥1)

（2）∵c_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

，
∴c_n+1-c_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0，
∴{c_n}是遞減數(shù)列．
（3）由題意須

1

5

-

7

12

loga(a-1)大于等于c_n的最大值
由（2）可知當(dāng)n=2時，c_n取得最大值

1

3

+

1

4

+

1

5

．原不等式移向化為：

7

12

＜-

7

12

loga(a-1)，繼續(xù)整理得log_a（a-1）＜-1，
由真數(shù)a-1＞0，a＞1，∴a-1＜

1

a

化成a²-a-1＜0，解得1＜a＜

1+ 5

2

．

點評：本題是函數(shù)、數(shù)列的結(jié)合，考查數(shù)列中Sn與a_n關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)不等式，分式不等式的解．考查不等式恒成立問題、轉(zhuǎn)化、計算能力．